Wat zijn exoplaneten?
Er is één ster die je iedere dag heel goed kan zien en dat is de zon. De zon is trouwens geen grote ster maar lijkt voor ons alleen groot. Onze planeet aarde draait namelijk om de zon en daardoor staan wij heel dichtbij de zon. Andere planeten die draaien om de zon zijn bijvoorbeeld Mars en Jupiter. Op dezelfde manier draaien rond alle andere sterren die je ‘s avonds ziet ook planeten. En deze planeten worden exoplaneten genoemd.
Bron: Cris Rieder
Ieder lichtpuntje op het plaatje hierboven is een ster en al deze sterren samen vormen ons sterrenstelsel “de Melkweg”. De rode pijl wijst naar onze eigen ster de zon en om de zon draaien dus acht planeten inclusief wijzelf op aarde. Rond alle andere sterren draaien exoplaneten en dat zijn er nogal veel!
Het aantal sterren in de Melkweg wordt geschat tussen de 100 en 200 miljard. We hebben het dus over honderden miljarden exoplaneten. En dat alleen nog maar in ons eigen sterrenstelsel de Melkweg. Zo zijn er ook nog eens zo’n tweeduizend miljard sterrenstelsels en in al deze stelsels bevinden zich weer miljarden sterren.
Kortom: heel veel sterren dus en dat betekent ook heel veel exoplaneten in het heelal.
Waarom zien we die exoplaneten niet?
Als je vannacht naar een ster kijkt, kijk je dus meteen naar een aantal exoplaneten. We zien die exoplaneten niet omdat ze “overstraald” worden door het felle licht van de ster waar ze omheen draaien.
Denk maar aan een vogel die net voor de zon langs vliegt. Door de felle zon kan je de vogel niet meer zien zodra de vogel in de buurt van de zon komt te staan. Als je een ster via een telescoop bekijkt heb je hetzelfde probleem waardoor je de planeten niet kan zien.
Hoe kunnen we de exoplaneten dan wel zien?
Sterrenkundigen hebben een methode bedacht om de exoplaneet te kunnen waarnemen. Op het moment dat de exoplaneet precies tussen de telescoop en de ster in komt te staan, wordt er een klein deel van het licht van de ster door de exoplaneet geblokkeerd. Hierdoor zal de lichtintensiteit van de ster heel even afnemen. In de grafiek van de lichtintensiteit zal even een dipje te zien zijn, zoals je in de figuur hieronder kunt zien.
Animatie van een passerende exoplaneet. Het dipje ontstaat wanneer er licht wordt geblokkeerd. Bron: ESA.
Als zo’n dipje in een grafiek wordt gevonden, dan wijst dat op de aanwezigheid van een exoplaneet. Deze methode wordt de transitmethode genoemd.
Automatisch zoeken naar de exoplaneten
Er zijn nogal veel sterren om te observeren. Het zoeken naar de dipjes wordt daarom niet met de hand gedaan maar met de computer. De computer maakt daarbij gebruik van wiskunde: er worden allerlei verschillende “box-functies” ontworpen die in een dipje zouden kunnen passen. Hieronder zie je bijvoorbeeld een groene box-functie die mooi past in het dipje van de data (meetpunten).
Past er een box-functie precies in de meetpunten? Dan heeft de computer een dipje gevonden. En dus een exoplaneet!
Waar wordt de afgeleide voor gebruikt?
Hoe bepaal je dan of een box-functie “mooi” in de meetpunten past? Daar wordt de afgeleide voor gebruikt. “Mooi” inpassen komt erop neer dat de box-functie zo min mogelijk moet afwijken van de meetpunten.
Om iets te kunnen zeggen over de mate van afwijking, wordt er een afstandsfunctie gemaakt die alle afstanden van de meetpunten tot de box-functie bij elkaar optelt. We willen een zo klein mogelijke afwijking en dus een zo klein mogelijke afstand. Je bent dus op zoek naar het minimum van de afstandsfunctie. En zoals je weet bepaal je het minimum van een functie door de afgeleide gelijk aan nul te stellen!
🔥Nerd Alert!
Laten we wat beter kijken naar het opstellen van de afstandsfunctie.
Het uiteindelijke doel is om de box-functie f(p) te vinden die zo min mogelijk afwijkt van de meetpunten. De variabele p in de box-functie f(p) kun je zien als de variabele die de vorm van de box-functie bepaalt. Het doel is dus een minimale afwijking tot de meetpunten. Om dat te berekenen gaan we kijken naar de afstand tussen de functie en de meetpunten. In het plaatje hieronder zie je deze afstanden met pijltjes aangegeven: hoe groter het pijltje, hoe groter de afstand.
De totale afwijking van de box-functie tot de meetpunten in de grafiek wordt verkregen als je alle afstanden tussen de meetpunten en de box-functie bij elkaar optelt. Met andere woorden: alle lengtes van de pijltjes worden bij elkaar opgeteld. Op deze manier ontstaat de afstandsfunctie d(p):
Omdat sommige meetpunten onder de functie f(p) liggen kunnen er ook negatieve afstanden ontstaan. Om deze reden worden alle afstanden gekwadrateerd.
In deze afstandsfunctie is als voorbeeld uitgegaan van 1000 meetpunten. Er worden dus duizend “afstanden” (pijltjes) bij elkaar opgeteld.
Afgeleide afstandsfunctie gelijkstellen aan nul
Nu er een afstandsfunctie is opgesteld kan er worden bepaald welke box-functie f(p) het beste bij het dipje in de grafiek past. Dit is namelijk de box-functie met de kleinste afstand tot de meetpunten. We zijn dus op zoek naar het minimum van de afstandsfunctie d(p). Zoals je weet bereken je een minimum door de afgeleide van de functie gelijk te stellen aan nul.
Het oplossen van deze vergelijking leidt tot p*: de waarde van de variabele p die hoort bij bij de box-functie die het dichtst bij de meetpunten ligt. Dat is de groene functie in het plaatje hieronder. Deze box-functie wordt de best passende box-functie genoemd.
Merk op: de wiskunde in dit artikel is versimpeld tot de leerstof van het voortgezet onderwijs. We hebben bijvoorbeeld niet laten zien hoe de box-functie er wiskundig uitziet en welke rol de variabele p daarin speelt. Deze wiskunde gaat verder dan de wiskunde op de middelbare school. Ben je toch nieuwsgierig? Klik dan hier.